Exemple de courbe algébrique

Si Y2 = x3 − x − 1, le champ C (x, y) est un champ de fonction elliptique. Les courbes du genre plus grand que l`un diffèrent sensiblement des courbes rationnelles et elliptiques. Il permet des méthodes analytiques complexes à utiliser dans la géométrie algébrique, et les méthodes algébriques-géométriques dans l`analyse complexe, et les méthodes de champ-théorétique à utiliser dans les deux. Si les polynômes réductibles sont autorisés, la liaison pointue est d (d − 1)/2, cette valeur étant atteinte lorsque les facteurs polynomiaux dans les facteurs linéaires, c`est-à-dire si la courbe est l`Union des lignes d. Ici, l`indice de ramification est 3, et un seul facteur est réel; Cela montre que, dans le premier cas, les deux facteurs doivent être considérés comme définissant la même branche. Cela implique qu`une courbe affine dans un espace affiné de dimension n est définie par, au moins, des polynômes n − 1 dans les variables n. De plus, δ est au moins m (m-1)/2. Quel genre de problème aimeriez-vous signaler? Près d`un point singulier, la situation est plus compliquée, et implique la série Puiseux, qui fournissent des équations paramétriques analytiques des branches. Étant donné n − 1 polynômes homogènes dans les variables n + 1, nous pouvons trouver la matrice jacobienne comme matrice (n − 1) × (n + 1) des dérivés partiels. Il est souvent souhaitable d`envisager des courbes dans l`espace projective. Plus généralement, une courbe algébrique est similaire mais peut être incorporée dans un espace dimensionnel plus élevé ou définie sur un champ plus général. En utilisant le concept intrinsèque de l`espace tangent, les points P sur une courbe algébrique C sont classés comme lisses (synonymes: non-singulier), ou autrement singulier. Des exemples sont les courbes hyperelliptiques, la courbe du quarte de Klein et la courbe de Fermat xn + Yn = Zn lorsque n est supérieure à trois.

Par exemple, (2, √ − 3) est un point de la courbe définie par x2 + Y2 − 1 = 0 et le cercle unitaire habituel est la partie réelle de cette courbe. Il s`agit d`un corollaire du théorème de la fonction implicite analytique, et implique que la courbe est lisse près du point. Par exemple, considérez le champ C de nombres complexes, sur lequel nous pouvons définir le champ C (x) des fonctions rationnelles en C. Dans un plan cubique modèle trois points somme à zéro dans le groupe si et seulement s`ils sont colinéaires. La notion de degré est un projective. Jusqu`à l`équivalence birationnelle, les courbes irréductibles sur un champ F sont catégoriquement équivalentes aux champs de fonction algébrique dans une variable sur F. L`équation d`une courbe algébrique est f (x, y) = 0, {displaystyle f (x, y) = 0,} où f est un polynôme en x et y. Ainsi, f peut être factorisé en facteurs de la forme y − P (x), {displaystyle y-P (x),} où P est une série Puiseux.